Question

【题目】已知，正方形的边长为是边上一动点，连接交于点，点是线段的垂直平分线与的交点，连接，并延长交边于点．

（1）如图1，若求的度数(用含的式子表示)；

（2）如图2，连接当点运动时，探究的周长是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由；

（3）若点为的中点，则的面积为 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，其值为12；（3）．

【解析】

(1)证明△AGB≌△AGD，得出∠ADG=∠ABF=a，再利用三角形外角的性质即可求的度数；

（2）将△BAF绕B点旋转90°得△BCK，证明△EBF≌△EBK得出EF=EK，即△DEF的周长=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC即可求得；

（3）分别证明△AFG∽△CBG，△AGF∽△BGH利用相似三角形边之间关系，面积与相似比之间的关系即可求解．

解：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，

又∵AG=AG，

∴△AGB≌△AGD，

∴∠ADG=∠ABF=a，

∴；

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°,

如下图，将△BAF绕B点旋转90°得△BCK，

∴CK=AF,∠CBK=∠ABF=a，

∵△AGB≌△AGD，

∴BG=GD，

∵G为BE垂直平分线，

∴BG=GE，

∴BG=GD=GE，

∴∠GED=∠GDE=∠ADC-∠ADG=90°-a，

∴∠DGE=180°-2（90°-a）=2a，

∴∠BGE=∠BGD-∠DGE=2（45°-a）-2a=90°，

∴∠GBE=∠GEB=45°，

∴∠EBK=∠EBC+∠CBK=∠EBC+∠ABF=90°-∠GBE=45°，

在△EBF和△EBK中

∵

∴△EBF≌△EBK（SAS）,

∴EF=EK，

∴△DEF的周长=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC=12．

故△DEF的周长是定值，其长为12．

（3）∵F为AD的中点，

∴,

∵四边形ABCD为正方形，

∴AF∥BC，AD=BC=6，∠BAF=∠ABC=90°，

∴△AFG∽△CBG，，,

∴,

∴,

设△AFG边AF上的高为m，△CBG边BC上的高为n，则m+n=6,,

解得m=2，n=4，

又∵，

∵∠DAC=∠GBE=45°,∠AGF=∠BGC，

∴△AGF∽△BGH，

∴,

∴，

故答案为：．