Question

【题目】如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．

(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是_________，请说明理由；

(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由见解析.

【解析】（1）利用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据菱形的判定，矩形的性质，求解即可，

（2）首先利用菱形的性质得出平行四边形ABCD是菱形，再利用正方形的性质与判定得出即可．

解：(1)理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.

由题意，得EF＝AC，EH＝BD，GH＝AC，GF＝BD，

∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

(2)当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由：

∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，

∴EF∥AC，EF＝AC.

同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC.

又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.

∴四边形EFGH是菱形．

∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.

∴四边形EFGH是正方形．