Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与坐标轴分别交于A、B两点,已知点A的坐标为（0，8）,点B的坐标为(8，0),OC、AD均是△OAB的中线,OC、AD相交于点F,OE⊥AD于G交AB于E.

(1)点C的坐标为__________；

(2)求证：△AFO≌△OEB；

(3)求证：∠ADO＝∠EDB

Answer 1

【答案】（1）点C的坐标为（4，4）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先求出OA，OB进而求出OC，再用待定系数法求出直线AB的解析式，设出点C的坐标，即可得出结论；

（2）先判断出∠AOC=∠OBA，再利用互余判断出∠OAD=∠EOD，即可得出结论；

（3）先确定出OE的解析式，进而求出点E的坐标，即可求出直线DE的解析式，进而判断出OA=OM，即可得出结论．

试题解析：（1）A（0，8），B（0，8），

∴AB=8，OA=OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵OC是△AOB的中线，

∴OC=AB=4，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵B（8，0），A（0，8），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y=-x+8，

设点C（m，-m+8），OC=，

∴m=4

∴C（4，4）；

（2）由（1）知，OC是等腰直角三角形的斜边的中线，

∴∠AOC=45°=∠OBA，

∵OE⊥AD，

∴∠EOD+∠ODA=90°，

∵∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠EOD，

在△AOF和△OBE中，

，

∴△AOF≌△OBE；

（3）如图，

∵AD是△AOB的中线，

∴OD=BD，

∵B（8，0），

∴D（4，0），

∴直线AD的解析式为y=-2x+8，

∵OE⊥AD，

∴直线OE的解析式为y=x，

∵点E在直线AB上，

∴，解得， ，

∴E（， ），

∵D（4，0），

∴直线DE的解析式为y=2x-8，

∴OM=8，

∴OA=OM，

∵OB⊥OA，

∴AD=MD，

∴∠ADO=∠MDO．

∵∠EDB=∠MDO，

∴∠ADO=∠EDB．