Question

【题目】已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上．

（1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数；

（2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数；

（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，画出相应图形并求∠BPC的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC＝20°；（2）∠BPC=100°；（3）画出相应图形见解析；∠BPC的度数为70°或40°或110°．

【解析】

（1）根据角平分线的定义与平行线的性质，即可求解；

（2）根据三角形内角和定理，可得∠A＝∠BPC，进而即可求解；

（3）分3种情况：①当CP⊥BC时，②当CP⊥AC时， ③当CP⊥AB时，分别画出图形，即可求解．

（1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，

∴∠ABP＝＝20°，

∵CP∥AB，

∴∠BPC＝∠ABP＝20°；

（2）∵BE平分∠ABC，∠PBC＝∠PCA

∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCA

△ABO中，∠A+∠ABP+∠AOB＝180°，

△PCO中，∠BPC+∠PCA+∠POC＝180°，

∵∠ABP=∠PCA, ∠AOB=∠POC

∴∠A＝∠BPC =100°

即∠BPC=100°；

（3）①当CP⊥BC时，如图3，则∠BCP＝90°，

∵∠PBC＝20°，

∴∠BPC＝70°；

②当CP⊥AC时，如图4，则∠ACP＝90°，

△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；

③当CP⊥AB时，延长CP交直线AB于G，如图5，则∠BGC＝90°，

∵∠ABC＝40°，

∴∠BCG＝50°

△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；

综上，∠BPC的度数为70°或40°或110°．