Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．

（1）补全图1；

（2）如图1，当∠BAC=90°时，

①求证：BE=DE；

②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；

（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）

【解析】分析：（1）按要求作图即可；

（2）①延长AE，交BC于点H，由等腰三角形三线合一的性质得出AH⊥BC且BH=HC．然后利用平行线分线段成比例定理即可证明结论；

②延长FE，交AB于点G，利用等腰三角形的性质证得GE=EF，再证△BEG≌△DEF即可得出DF与AB的位置关系；

（3）利用锐角三角形即可得出答案.

详解：（1）补全图1；

（2）①延长AE，交BC于点H．

∵AB=AC， AE平分∠BAC，

∴AH⊥BC于H，BH=HC．

∵CD⊥BC于点C，

∴EH∥CD．

∴BE=DE．

②延长FE，交AB于点G．

由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．

由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．

得AG=AF．

由等腰三角形三线合一得GE=EF．

由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．

可得∠ABE=∠FDE．

从而可证得DF∥AB．

（3）如图所示，

由DF∥AB且GE=EF，

≌,

∴BG=DF,

由EF∥BC，BD平分∠ABC，

可证是等腰三角形，

∴BG=GF,

∵，

∴．