Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，CE平分∠ACB，交AB于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCE是等腰三角形.

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC

∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD．
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD．
∴∠ACO=∠DAC．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠CAO+∠ACE=∠PCB+∠BCE，
∴∠PEC=∠PCE，
∴PC=PE，
即△PCE是等腰三角形．
【解析】（1）连接OC ，根据切线的性质得出OC⊥PD．又AD⊥PD，从而得出OC∥AD．根据二直线平行内错角相等得出∠ACO=∠DAC．根据等边对等角得出∠ACO=∠CAO，根据等量代换得出∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠ACD=90°．根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB=90°．进而根据平角的定义得出∠PCB+∠ACD=90°，根据同角的余角相等得出∠DAC=∠PCB．根据等量代换得出∠CAO=∠PCB．根据角平分线的定义得出∠ACE=∠BCE，根据等式的性质得出∠PEC=∠PCE，再根据等角对等边得出PC=PE，即△PCE是等腰三角形 。