Question

【题目】已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根；
（2）解：把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，1-（k+2）+2k=0，k=1，
把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，
x=1或x=2，
所以方程的另一根是2．
①当1，2为直角边时，斜边为
此时直角三角形周长为
②当2为斜边，1为直角边时，另一直角边为
此时直角三角形周长为
综上所述，直角三角形的周长为 ．
【解析】（1）首先算出此方程的△=b2﹣4ac=（k+2）2﹣8k=（k﹣2）2，根据平方的非负性得出≥0，从而得出结论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）根据方程根的定义把把x=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中 ，得出一个关于k的一元一次方程，解方程得出k的值，从而把k=1代入x2－（k＋2）x＋2k＝0中，得出一个关于x的方程，解方程得出方程的另一个根；然后分类讨论：①当1，2为直角边时，根据勾股定理得出斜边的长，从而算出直角三角形的周长；②当2为斜边，1为直角边时，根据勾股定理算出另一直角边的长，从而算出直角三角形的周长 ；综上所述，得出结论。