Question

【题目】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中， ，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b，

∵△ACF≌△ACE，

∴∠AEF=∠AFE，

∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，

∵∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠CAE=∠CEA，

∴CE=AC=4 ，即：a=b=4

（2）

解：当△AEF是直角三角形时，

①如图所示：

∵∠AFE=90°，

∴∠AFD+∠CFE=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，

∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中 ，

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，

∴a=8，b=4．

②当∠AEF=90°时，同①的方法得，CF=4，CE=8，

∴a=4，b=8

【解析】（1）先证明△ACF≌△ACE，从而得到CF=CE，然后再证明△ACE为等腰三角形，则CE=AC=4 ；（2）当∠AFE=90°，可证明△ADF≌△FCE，则FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，从而可求得a、b的值，同理当∠AEF=90°时，也可求得a、b的值．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和旋转的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．