Question

【题目】已知OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．

（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，
①直线 AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．
②OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．
③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．
（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①是，经过定点（3，0）．理由如下：

如图1中，连接AC交OB于K．

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OK=KB，BC∥OA，BC=OA，

∴∠CBF=∠AOD，

在△DOA和△FBC中，

，

∴△DOA≌△FBC，

∴OD=FB=2，

∴OB=6，

∵OK=KB，

∴OK=3，

∴K（3，0），

∴直线AC经过定点K（3，0）．

②可以．利用如下：

当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，

由（1）可知△DOA≌△FBC，

∴OD=BF=2，

∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，

∴∠OCF=∠CBF，

∵∠CFO=∠CFB，

∴△CFO∽△BFC，

∴ = ，

∴ = ，

∴CF=2 ，

∴S矩形OABC=2S△OBC=2× × =12 ．

③可以．理由如下：

如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．

由（1）可知，△DOA≌△FBC，

∴AD=CF，

∵DE= CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，

在Rt△ADE中，∵OE2=OD2+DE2，

∴9x2=x2+4，

∴x= ，

∴AE= ，

∴S菱形AECG=AEDF= ×2=3

（2）

解：如图4中，

当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，

∴OD=CF=2，

∴点C坐标（4，2），

根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．

综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，﹣2）

【解析】（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得 = ，由此即可解决问题．③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE= CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，在Rt△ADE中，根据OE2=OD2+DE2 ， 列出方程即可解决问题．（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，﹣2）时，也满足条件．
【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的性质(菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半)，还要掌握矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)的相关知识才是答题的关键．