Question

【题目】如图①，点O为直线AB上一点，射线OC⊥AB于O点，将一直角三角板的60°角的顶点放在点O处，斜边OE在射线OB上，直角顶点D在直线AB的下方．

（1）将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②，使一边OE在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线OD是否平分∠AOC？请说明理由；

（2）将图①中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线OD恰好平分∠AOC，则t的值为________；(直接写出结果)

（3）将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③，使OD在∠AOC的内部，请探究：∠AOE与∠DOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线OD不平分∠AOC，理由见解析；（2）3或39；（3）∠DOC－∠AOE＝30°，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）先根据角平分线的性质得到，∠BOE=45°，于是∠BOD=∠DOE-∠BOE=15°，进而求出∠COM与∠AOM的值，∠AOM≠∠COM，直线OD不平分∠AOC；

（2）分OD与OD的延长线平分∠AOC两种情况；

（3）∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°．

试题解析：（1）直线OD不平分∠AOC，理由：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝45°，∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝60°－45°＝15°，延长DO至M，则∠COM＝180°－90°－15°＝75°，∠AOM＝90°－75°＝15°，即∠AOM≠∠COM；

（2）3或39；

延长DO，

∵∠AOC=90°，

当直线OD恰好平分角∠AOC，

∴∠AOM=∠COM=45°，

即逆时针旋转15°时DO延长线平分∠AOC，

由题意得，5t=15°

∴t=3，

当DO平分∠AOC，

∴∠DOA=45°

即逆时针旋转195°时DO平分∠AOC，

∴5t=195°，

∴t=39，

∴t=3或39；

（3）∠DOC-∠AOE=30°，

∵∠DOE=60°，∠AOC=90°，

∴∠AOE=60°-∠AOD、∠DOC=90°-∠AOD，

∴∠DOC-∠AOE=（90°-∠AOD）-（60°-∠AOD）=30°，

所以∠AOE与∠DOC之间的数量关系为：∠DOC-∠AOE=30°．