【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．

（1）求AB长；

（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；

（3）t为何值时，△APM为直角三角形？

参考答案：

【答案】(1)10;(2)中点处；（3）或.

【解析】试题分析：（1）过点作轴于点，利用勾股定理求出的长度；
（2）先判断出点在上，然后表示出即可用三角形的面积公式即可；
（3）为直角三角形时，由于没有规定哪个顶点是直角顶点，所以分三种情况进行讨论；利用锐角三角函数或相似三角形的性质即可．

试题解析：

(1)如图1,过点B作BD⊥x轴于点D，

∵A(10,0),B(4,8)C(0,8)，

∴AO=10，BD=8，AD=6，

由勾股定理可求得：AB=10，

(2)∵AB=10，

∴10÷2=5，

∴点M在AB上，

作ME⊥OA于E，

∴△AEM∽△ADB，

∴t=5时，S取最大值，此时PA=10t=5，

即：点P在OA的中点处.

(3)由题意可知：

当点P是直角顶点时，

∴PM⊥AP，

∴PA=10t，

若时,点M在AB上,如图2,

此时AM=2t，

若时,点M在BC上,如图3,

∴CM=142t，OP=t，

∴OP=CM，

∴t=142t，

当点A是直角顶点时，

此时,∠MAP不可能为 此情况不符合题意；

当点M是直角顶点时，

若时,M在AB上,如图4,

此时，AM=2t，AP=10t

若时,点M在BC上,如图5,

过点M作ME⊥x轴于点E，

此时，CM=142t，OP=t，

∴ME=8，PE=CMOP=143t，

∴EA=10(142t)=2t4，

∴∠PME=∠MAP，

∴△PME∽△MAE，

∴64=(143t)(2t4)，

故此情况不存在；

综上所述,t=或

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