Question

【题目】已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF.

(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．

(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝2，求此时线段CF的长(直接写出结果)．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)(1)中的结论仍然成立(3)

【解析】试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．

（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．

（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=2，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

试题解析：(1)∵∠ACB=∠ADE=90°，F为BE的中点，

∴DF=BF=BE，CF=BE，∴DF=CF.

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.

∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.

∵∠DFE=∠DBF＋∠BDF，

∴∠DFE=2∠DBF.

同理，∠CFE=2∠CBF，

∴∠DFE＋∠CFE=2∠DBF＋2∠CBF=2∠ABC=90°，∴DF⊥CF.

(2)(1)中的结论仍然成立．

证明：如解图①，延长DF交BC于点G.

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC.

∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF.

∵F为BE的中点，∴EF=BF.

∴△DEF≌△GBF(AAS)．∴DE=GB，DF=GF.

∵AD=DE，∴AD=GB.

∵AC=BC，∴AC－AD=BC－GB，

即DC=GC.

∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF.

(3)如解图②，延长DF交BA于点H.

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE，

∠AED=∠ABC=45°.

由旋转可知∠CAE=∠BAD=∠ACB=90°，

∴AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，∴∠DEF=∠HBF.

∵F是BE的中点，∴EF=BF.

又∵∠DFE=∠HFB，

∴△DEF≌△HBF(ASA)．∴ED=BH.

∵BC=AC=2，∠ACB=90°，∴AB=4.

∵BH=ED=AD=1，∴AH=3.

∵∠BAD=90°，∴DH=，

∴DF=

.∴CF=.