Question

【题目】如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.

(1)求证：∠1＝∠2.

(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．

(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE，然后根据等边对等角证明即可；

（2）利用“HL”证明△OCE和△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上证明．

（3）分别求出ΔOCD和ΔCDE的面积即可求出△OCD与△CDE的面积之差．

试题解析：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE=DE，∴∠1=∠2.

(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，

∵

∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．

∴OC=OD.

又∵CE=DE，

∴OE是线段CD的垂直平分线．

(3)∵∠1=30°，∠OCE=90°，

∴∠OCD=60°.

∵OC=OD，

∴△OCD是边长为2的等边三角形，

∴CD=OC=2，∠COD=60°，

∴∠COE=∠DOE=∠COD=30°，

∴OE=2CE.

设CE=x，则OE=2x.

由勾股定理，得(2x)2=x2＋22，

解得x=，即CE=，OE=.

∵∠1=30°，∠EFC=90°，

∴EF=CE=，∴OF=OE－EF=，

∴S△OCD－S△CDE=·CD·OF－·CD·EF=