Question

【题目】如图，AB分别是⊙O的直径，AC是弦，DC是⊙O的切线，C为切点，AD⊥DC于点D．

（1）已知∠ACD=a，求∠AOC的大小；

（2）求证：AC2=AB·AD．

Answer 1

【答案】（1）2α；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由CD是⊙O的切线得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的内角和即可证明题目的结论；

（2）如图，连接BC．由AB是直径得到∠ACB=90°，然后利用已知条件可以证明在Rt△ACD∽Rt△ABC，接着利用相似三角形的性质即可解决问题．

试题解析：（1）∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

即∠ACD+∠ACO=90°，①

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，

两边除以2得：∠AOC+∠ACO=90°，②

由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，

即∠AOC=2∠ACD=2α；

（2）如图，连接BC．

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACD与Rt△ABC中，

∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴，即AC2=AB·AD.