Question

【题目】已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，

求tan∠CPA的值；

（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】 （1）；（2） ；（3）E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.

【解析】试题分析：（1）把A、B两点带入抛物线解析式，求得a、b的值，即可得到抛物线解析式；

（2）由AC=AB且点C在点A的左侧，及线段CP是线段CA、CB的比例中项，可得CP=，

由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.

过P作PH⊥x轴于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；

（3）分两种情况：点E在M左侧和点E在M右侧讨论即可.

试题解析：（1）∵ 抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），

∴,

解得

∴ 抛物线的解析式为 .

（2）∵ A（1，0），B（5，0），

∴ OA=1，AB=4.

∵ AC=AB且点C在点A的左侧，

∴ AC=4 .

∴ CB=CA+AB=8.

∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，

∴ .

∴ CP=.

又 ∵ ∠PCB是公共角，

∴ △CPA∽△CBP .

∴ ∠CPA= ∠CBP.

过P作PH⊥x轴于H.

∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，

∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°

∴ PH=CH=CP=4，

∴ H（-7，0），BH=12，

∴ P（-7，-4），

∴，

tan∠CPA=.

（3） ∵ 抛物线的顶点是M（3，-4），

又 ∵ P（-7，-4），

∴ PM∥x轴 .

当点E在M左， 则∠BAM=∠AME.

∵ ∠AEM=∠AMB，

∴ △AEM∽△BMA.

∴,

∴.

∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.

过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.

当点E在M右侧时，记为点，

∵ ∠AN=∠AEN，

∴ 点与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.

综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.