Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线交y轴于点A，交直线x=6于点B.

（1）填空：抛物线的对称轴为x=_________，点B的纵坐标为__________（用含a的代数式表示）；

（2）若直线AB与x轴正方向所夹的角为45°时，抛物线在x轴上方，求的值；

（3）记抛物线在A、B之间的部分为图像G（包含A、B两点），若对于图像G上任意一点，总有≤3，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】 （1）； ；（2）a=；（3）a≥或a<0．

【解析】(1). ;; （2） ; (3) 或a<0.

试题分析：（1）①根据抛物线的对称轴为直线，代入数据即可得出结论；②把x=6代入直线即可求出点B的纵坐标；

（2）根据直线AB与x轴正方向所夹的角为45°，列方程-30a2+36a+3=6+3求出a的值；

（3）分a＞0及a＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出a的取值范围．

解：（1）①对称轴为： ；

②把x=6代入直线得，

y=36a-30a2+3.

∴点B的纵坐标为-30a2+36a+3.

(2)当x=0时, =3,

∴A(0,3).

∵直线AB与x轴正方向所夹的角为45°，

∴-30a2+36a+3=6+3,

解之得

,a2=1（舍去）.

∴a的值是 .

（3）当a＞0时，如图1．

∵A（0，3），

∴要使0≤xp≤6时，始终满足yp≤3，只需使抛物线y=ax2-5a2x+3的对称轴与直线x=3重合或在直线x=3的右侧．

∴ ,

.

当a＜0时，如图2，

在0≤xp≤6中，yp≤3恒成立．

综上所述，a的取值范围为或a<0．