Question

【题目】若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b-1|+|c-2|=0．

（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；

（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动．经过t（t≥1）秒后，试问AB-BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-4或-6；（2）当1≤t＜3时，AB-BC的值会随着时间t的变化而变化．当t≥3时，AB-BC的值不会随着时间t的变化而变化，理由详见解析．

【解析】

（1）根据非负数的性质可求a=-5，b=1，c=2，设点P表示的数为x，分①P在AB之间，②P在A的左边，③P在BC的中间，④P在C的右边，进行讨论即可求解；

（2）表示出点A表示的数为-5-t，点B表示的数为1-3t，点C表示的数为2-5t，分①当1-3t＞-5-t，即t＜3时，②当t≥3时，进行讨论即可求解．

解：（1）∵|a+5|+|b-1|+|c-2|=0，

∴a+5=0，b-1=0，c-2=0，

解得a=-5，b=1，c=2，

设点P表示的数为x，

∵PA+PB=PC，

①P在AB之间，

[x-（-5）]+（1-x）=2-x，

x+5+1-x=2-x，

x=2-1-5，

x=-4；

②P在A的左边，

（-5-x）+（1-x）=2-x，

-5-x+1-x=2-x，

-x=2-1+5，

x=-6；

③P在BC的中间，

（5+x）+（x-1）=2-x，

2x+4=2-x，

3x=-2，

x=-（舍去）；

④P在C的右边，

（x+5）+（x-1）=x-2，

2x+4=x-2，

x=-6（舍去）．

综上所述，x=-4或x=-6．

（2）∵运动时间为t（t≥1），

A的速度为每秒1个单位长度，B的速度为每秒3个单位长度，C的速度为每秒5个单位长度，

∴点A表示的数为-5-t，点B表示的数为1-3t，点C表示的数为2-5t，

①当1-3t＞-5-t，即t＜3时，

AB=（1-3t）-（-5-t）=-2t+6，

BC=（1-3t）-（2-5t）=2t-1，

AB-BC=（-2t+6）-（2t-1）=7-4t，

∴AB-BC的值会随着时间t的变化而变化．

②当t≥3时，

AB=（-5-t）-（1-3t）=2t-6，

BC=（1-3t）-（2-5t）=2t-1，

AB-BC=（2t-6）-（2t-1）=-5，

∴AB-BC的值不会随着时间t的变化而变化．

综上所述，当1≤t＜3时，AB-BC的值会随着时间t的变化而变化．当t≥3时，AB-BC的值不会随着时间t的变化而变化．