Question

【题目】已知，如图，在△ABC中，AB=AC=20cm，BD⊥AC于D，且BD=16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s，过点P的动直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t(s)(0＜t＜5)，解答下列问题：

（1）线段AD=___cm；

（2）求证：PB=PQ；

（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）AD=12cm；（2）证明见解析；（3）t=s或4s

【解析】

（1）由勾股定理求出AD即可；

（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；

（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AD-AM=12-4t，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；

②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，得出MD=AM-AD=4t-12，由PQ∥MD，当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．

（1）解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

∴AD=，

故答案为：12；

（2）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，即∠PBQ=∠C，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB=∠C，

∴∠PBQ=∠PQB，

∴PB=PQ；

（3）分两种情况：

①当点M在点D的上方时，如图所示

根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AD-AM=12-4t，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，

∴t=12-4t，

解得：t=（s）；

②当点M在点D的下方时，如图所示：

根据题意得：PQ=BP=t，AM=4t，AD=12，

∴MD=AM-AD=4t-12，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

当PQ=MD时，四边形PQDM是平行四边形，

∴t=4t-12，

解得：t=4（s）；

综上所述，当t=s或t=4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形；

故答案为：s或4s．