Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．

（1）求证：AD=DE；

（2）求∠DCE的度数；

（3）若BD=1，求AD，CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AD=2，DC=．

【解析】试题分析：（1）先利用旋转的性质和等边三角形的性质判断出△ADE是等边三角形即可；（2）利用四边形内角和是360°即可求出∠DCE的度数；（3）先结合特殊角求出DE的长度，即求出AD的长度，再用勾股定理求出CD的长度.

试题解析：

（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，

∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，

∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠DAE＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∴AD＝DE；

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠ADB=∠AEC＝120°，

∵∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，

∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°；

（3）∵△ADE为等边三角形，

∴∠ADE＝60°，

∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，

又∵∠DCE＝90°，

∴DE＝2CE＝2BD＝2，

∴AD＝DE＝2，

在Rt△DCE中， .