Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于A（0，a），交x轴于B（b，0），且a，b满足（a﹣b）2+|3a+5b﹣88|＝0．

（1）求点A，B的坐标；

（2）如图1，已知点D（2，5），求点D关于直线AB对称的点C的坐标．

（3）如图2，若P是∠OBA的角平分线上的一点，∠APO＝67.5°，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（0，11），B（11，0）；（2）C的坐标为（6，9）；（3）3

【解析】

（1）利用非负数的性质求出A、B两点坐标，再利用待定系数法切线直线AB解析式即可解决问题．

（2）延长FD交AB于点E，连结CE，易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形，再根据D（2，5），得到DG＝5，进而得到AF＝EF＝6，最后得出C（6，9）；

（3）利用角平分线的性质构造全等三角形，然后通过角度的关系得出边的关系即可．

解：（1）由题意得，

解得，

∴A（0，11），B（11，0）；

（2）如图，延长FD交AB于点E，连结CE

因为OB＝OA＝11,

所以三角形OAB是等腰直角三角形,

易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形,

所以FE＝AF＝OA﹣OF＝11﹣5＝6,

∴CE＝DE＝EF﹣FD＝6﹣2＝4,

所以C的横坐标为6．，纵坐标为5+4＝9,

故C的坐标为（6，9）;

（3）如图，作PM垂直AB于点M，作PM垂直OB于点L，在L的左侧取一点N，使得NL＝AM，

∵PB是∠ABO的平分线，

所以PM＝PL，

∴△AMP≌△NLP，

∴∠NLP＝∠APM，

∴∠APN＝∠MPL.

∵∠ABO＝45°，

∴∠MPL＝135°，

∴∠APN＝135°，

又∠APO＝67.5°，

∴∠NPO＝∠APO＝67.5°.

∵PN＝PA，PO＝PO，

∴△OPN≌OPA，

∴∠PON＝∠POA＝45°，NO＝AO＝11，

设NL＝a，则MA＝a，

∴BL＝BM＝a+11，

∵BL＝22﹣a，

∴22﹣a＝a+11，

∴a＝11﹣，

∴LO＝11﹣（11﹣）＝，

∴PO＝LO＝11，

所以＝3.