Question

【题目】如图所示，抛物线的顶点为，与轴交于、两点，且，与轴交于点．

求抛物线的函数解析式；

求的面积；

能否在抛物线第三象限的图象上找到一点，使的面积最大？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标是．

【解析】

(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值,即可解题;
(2)易求得点B、C的坐标,即可求得OC的长,即可求得的面积,即可解题;
(3)作PE⊥x轴于点E,交AC于点F,可将的面积转化为和的面积之和,而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离,因此若设设E(x，0),则可用x来表示的面积,得到关于x的一个二次函数,求得该二次函数最大值,即可解题.

设此函数的解析式为，

∵函数图象顶点为，

∴，

又∵函数图象经过点，

∴

解得，

∴此函数的解析式为，即；

∵点是函数的图象与轴的交点，

∴点的坐标是，

又当时，有，

解得，，

∴点的坐标是，

则；

假设存在这样的点，过点作轴于点，交于点．

设，则，

设直线的解析式为，

∵直线过点，，

∴，

解得，

∴直线的解析式为，

∴点的坐标为，

则，

∴

，

∴当时，有最大值，

此时点的坐标是．