Question

【题目】附加题：如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

（1）如果点P、Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，是否存在某一个时刻，使得△BPD与△CQP全等？如果存在请求出这一时刻并证明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△BPD与△CQP是全等，

理由是：当t=1秒时BP=CQ=3，

CP=8﹣3=5，

∵D为AB中点，

∴BD= AC=5=CP，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BDP和△CPQ中

∵ ，

∴△BDP≌△CPQ（SAS）

（2）解：假设存在时间t秒，使△BDP和△CPQ全等，

则BP=2t，BD=5，CP=8﹣2t，CQ=2.5t，

∵△BDP和△CPQ全等，∠B=∠C，

∴ 或 （此方程组无解），

解得：t=2，

∴存在时刻t=2秒时，△BDP和△CPQ全等，

此时BP=4，BD=5，CP=8﹣4=4=BP，CQ=5=BD，

在△BDP和△CQP中

∵ ，

∴△BDP≌△CQP（SAS）．

【解析】（1）求出BP=CQ，CP=BD，∠B=∠C，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）假设存在时刻t，根据全等三角形的性质得出方程组，求出t后，看看是否符合题意，再根据全等三角形的判定推出即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)．