Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线,MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E。

（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你写出这个数量关系，并证明

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）DE=BE-AD，理由见详解.

【解析】

（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；

（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE-CD=AD-BE；

（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．

（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）证明：与（1）同理，可证明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD

证明：与（1）同理，可证明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．