Question

【题目】问题呈现：

如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．

问题分析：

连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ____ BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ___ DE．

解法探究：

（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：

如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以 __ ，因为BD=BA，所以 ______ ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ____ ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．

（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．

（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．

Answer 1

【答案】问题分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）证明见解析

【解析】

试题分析：问题分析：直接得出结论即可；

解法探究：（1）根据证明方法直接写出结论；

（2）先判断出OD=OA，再用垂径定理即可得出结论；

（3）方法1，先判断出AC是⊙O的直径，进而判断出四边形BEDH是矩形即可；

方法2，先判断出AH=DH，再判断出AC是⊙O的直径，进而判断出OH是△ACD的中位线，即可得出DE∥OB，即可得出结论；

试题解析：问题分析：

故答案为：⊥，∥；

解法探究：

（1）故答案为：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；

（2）如图3，

连接OD，

∴OD=OA，

∵BD=BA，

∴BF垂直平分AD，

即：BF⊥AD（垂径定理），

（3）方法1，∵BF⊥AD，

∴∠BHD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵∠E=90°，

∴四边形BEDH是矩形，

∴∠EBO=90°，

∴BE是⊙O的切线；

方法2，∵BF⊥AD，

∴AH=DH（垂径定理），

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∴AO=CO，

∴OH是△ACD的中位线，

∴OH∥DC，

即：DE∥OB，

∵∠E=90°，

∴∠EBO=90°，

∴BE是⊙O的切线．