Question

【题目】圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．

（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；

（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；

（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为 ____ ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）πa2（3）7π

【解析】

试题分析：（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．

（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．

（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积

试题解析：（1）证明：如图1中，连接OP．

∵AB是小圆的切线，P是切点，

∴OP⊥AB，

∴PA=PB．

（2）解：如图1中，连接OB．

∵大圆的弦AB是小圆的切线，

∴OP⊥AB，AP=PB，

∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，

∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），

∴S圆环=πa2．

（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．

在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，

∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，

∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，

∵AB=8，CD=6，

∴AE=EB=4，CE=DE=3，

∴OA2﹣OC2=7，

∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．