Question

【题目】如图，已知直线y=﹣x和双曲线（k＞0），点A（m，n）（m＞0）在双曲线上．

（1）当m=n=2时，

①直接写出k的值；

②将直线y=﹣x作怎样的平移能使平移后的直线与双曲线只有一个交点．

（2）将直线y=﹣x绕着原点O旋转，设旋转后的直线与双曲线交于点B（a，b）（a＞0，b＞0）和点C．设直线AB，AC分别与x轴交于D，E两点，试问：与的值存在怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①k=4；②只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与双曲线只有一个交点；（2）综上所述，．理由见试题解析.

【解析】

试题分析：（1）①当m=n=2时，得出A（2，2），把点A（2，2）代入双曲线（k＞0）求出k的值即可；

②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由直线和双曲线解析式组成方程组，整理可得方程：x2﹣b1x+4=0，当判别式=0时，求出b1=±4即可；

（2）分两种情况讨论：由双曲线的对称性可知，C（﹣a，﹣b），①当点A在直线BC的上方时，过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，则OF=n，OG=OH=b，得出FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，由平行线得出比例式，即可得出结论；

②当点A在直线BC的下方时，同理可得出结论；即可得出结果．

试题解析：（1）①当m=n=2时，A（2，2），

把点A（2，2）代入双曲线（k＞0）得：k=2×2=4；

②设平移后的直线解析式为y=﹣x+b1，由可得，，

整理可得：x2﹣b1x+4=0，当△=-4×1×4=0，即b1=±4时，方程x2﹣b1x+4=0有两个相等的实数根，此时直线y=﹣x+b1与双曲线只有一个交点，∴只要将直线y=﹣x向上或向下平移4个单位长度，所得到的直线与双曲线只有一个交点；

（2）=2，理由如下：

分两种情况讨论：由双曲线的对称性可知，C（﹣a，﹣b）

①当点A在直线BC的上方时，如图所示：过A、B、C分别作y轴的垂线，垂足分别为F、G、H，

则OF=n，OG=OH=b，∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，

∵AF∥BG∥x轴，∴，∵AF∥x轴∥CH，

∴，∴=2；

②当点A在直线BC的下方时，

同理可求：， ，

∴；

综上所述，．