Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝100°，AB平分∠WAC．在线段AC上有一动点D，连接BD并作∠DBE，使∠DBE＝50°，BE边交直线AW于点E，连接DE．

（1）如图1，当点E在射线AW上时，直接判断：AE+DE　 CD；（填“＞”、“＝”或“＜”）

（2）如图2，当点E在射线AW的反向延长线上时，

①判断线段CD，DE，AE之间的数量关系，并证明；

②若S四边形ABDE﹣S△BCD＝6，且2DE＝5AE，AD＝AE，求S△ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）①DE＝CD+AE．理由见解析；②S△ABC＝．

【解析】

（1）在AC上取一点T，使得∠TBD＝∠ABC，连接BT，利用ASA即可证出△BAE≌△BCT,从而得出：TC＝AE，BE＝BT，再利用SAS即可证出△DBE≌△DBT，从而证出DE＝DT，即可得出结论；

（2）①在AC的延长线上取一点T，使得∠TBD＝∠ABC，连接BT，利用ASA即可证出△BAE≌△BCT,从而得出：TC＝AE，BE＝BT，再利用SAS即可证出△DBE≌△DBT，从而证出DE＝DT，即可得出结论；

②根据全等三角形的性质可得：S△ABE＝S△BCT，S△BDE＝S△BDT，然后根据已知条件可得S△BCT＝3，设DE＝5k，AE＝2k，然后利用k求出AC：CT，最后根据同高时，三角形的面积之比等于底之比即可求出S△ABC的值．

解：（1）如图1中，在AC上取一点T，使得∠TBD＝∠ABC，连接BT．

∵∠TBD＝∠ABC，∠DBE＝50°＝∠ABC，

∴∠CBT+∠ABD＝∠ABD+∠ABE＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBT，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠C，

∵∠BAE＝∠BAC，

∴∠EAB＝∠C，

在△BAE和△BCT中

∴△BAE≌△BCT（ASA），

∴TC＝AE，BE＝BT，

在△DBE和△DBT中

∴△DBE≌△DBT（SAS），

∴DE＝DT，

∴AE+DE＝CT+DT＝CD．

故答案为＝．

（2）①结论：DE＝CD+AE．

理由：如图2中，在AC的延长线上取一点T，使得∠TBD＝∠ABC，连接BT．

∵∠TBD＝∠ABC，∠DBE＝50°＝∠ABC，

∴∠CBT+∠CBD＝∠CBD+∠ABE＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBT，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠BAC，

∴∠WAB＝∠ACB，

∴∠BAE＝∠BCT，

在△BAE和△BCT中

∴△BAE≌△BCT（ASA），

∴TC＝AE，BE＝BT，

在△DBE和△DBT中

∴△DBE≌△DBT（SAS），

∴DE＝DT，

∴DE＝DC+CT＝AE+CD．

②由①可知：S△ABE＝S△BCT，S△BDE＝S△BDT，

∵S四边形ABDE﹣S△BCD＝6，

∴S△BDC+2S△BCT﹣S△BDC＝6，

∴S△BCT＝3，

∵2DE＝5AE，AD＝AE，设DE＝5k，AE＝2k，则AD＝k，CD＝DT﹣CT＝DE﹣AE＝3k，

∴AC＝AD+CD＝k+3k＝k，

∴AC：CT＝67：18，

∴S△ABC＝×S△CBT＝．