【题目】如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG．

（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1 ， 矩形ABCD的面积为S2 ， 当 = 时，求n的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵AD∥BC，

∴∠EFO=∠BGO，

∵FG为BE的垂直平分线，

∴BO=OE；

∵在△EFO和△BGO中， ，

∴△EFO≌△BGO，

∴FO=GO

∵EO=BO，且BE⊥FG

∴四边形BGEF为菱形．


（2）

解：当AB=a，n=3时，AD=2a，AE= ，

根据勾股定理可以计算BE= ，

∵AF=AE﹣EF=AE﹣BF，在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，EF= ，

∵菱形BGEF面积= BEFG=EFAB，计算可得FG=


（3）

解：设AB=x，则DE= ，

S1=BGAB，S2=BCAB

当 = 时， = ，可得BG= ，

在Rt△ABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF= ，

∴AE=AF+FE=AF+BG= ，DE=AD﹣AE= ，

∴ = ，

∴n=6．


【解析】（1）先求证△EFO≌△BGO，可得FO=GO，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形BFEG为菱形；（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值．

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