Question

【题目】（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，则∠DCE的度数；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】解：（1）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣（∠A+∠B）÷2=180°﹣45°=135°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=135°﹣90°=45°；
（2）∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣（180°﹣∠ACB）=180°+40°=220°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=180°﹣（∠CAD+∠CBE）÷2=180°﹣220°÷2=70°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=70°+40°=110°．
故答案为110°；
（3）分四种情况进行讨论：
①点D、E在边AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，
∵∠A+∠B=180°﹣n°，
∴∠ACD+∠BCE=180°﹣（∠A+∠B）÷2=180°﹣90°+n°=90°+n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°+n°﹣n°=90°﹣n°；
②点D在BA延长线上，点E在AB延长线上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD+∠CBE=180°﹣∠CAB+180°﹣∠ABC=360°﹣（180°﹣∠ACB）=180°+n°，
∴∠ACD+∠BCE=（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=180°﹣（∠CAD+∠CBE）÷2=180°﹣90°﹣n°=90°﹣n°，
∴∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=90°﹣n°+n°=90°+n°；
③如图1，点D在边AB上，点E在AB延长线上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CBE=∠CAD+∠ACB=∠CAD+n°，
∴∠CAD﹣∠CBE=﹣n°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=∠ACB﹣∠ACD+∠BCE=n°﹣（180°﹣∠CAD）÷2+（180°﹣∠CBE）÷2=n°+（∠CAD﹣∠CBE）÷2=n°﹣n°=n°；
④如图2，点D在BA延长线上，点E在边AB上，
∵AD=AC，BC=BE，
∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，
∴∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，
∵∠CAD=∠CBE+∠ACB=∠CBE+n°，
∴∠CBE﹣∠CAD=﹣n°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠ACD+∠ACB﹣∠BCE=n°+（180°﹣∠CAD）÷2﹣（180°﹣∠CBE）÷2=n°+（∠CBE﹣∠CAD）÷2=n°﹣n°=n°．


【解析】（1）由AD=AC，BC=BE，根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形内角和定理得出∠ACD=（180°﹣∠A）÷2，∠BCE=（180°﹣∠B）÷2，而∠A+∠B=90°，那么求出∠ACD+∠BCE=135°，则∠DCE=∠ACD+∠BCE﹣∠ACB=90°；
（2）由AD=AC，BC=BE，根据等边对等角得出∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC，再利用三角形内角和定理得出∠ACD=（180°﹣∠CAD）÷2，∠BCE=（180°﹣∠CBE）÷2，而∠CAD+∠CBE=220°，那么求出∠ACD+∠BCE=70°，则∠DCE=∠ACD+∠BCE+∠ACB=110°；
（3）分四种情况进行讨论：①点D、E在边AB上，同（1）可求出∠DCE=90°﹣n°；②点D在BA延长线上，点E在AB延长线上，同（2）可求出∠DCE=90°+n°；③点D在边AB上，点E在AB延长线上，求出∠DCE=n°；④点D在BA延长线上，点E在边AB上，求出∠DCE=n°．