Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠DAC=∠ABC，

∴∠DAC=∠ACB．

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD．

又∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD．

∴∠ABD=∠CBD．

∴BD平分∠ABC；

（2）解：解：过点O作OE⊥BC于E，

∵∠DAC=45°，∠DAC=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠B AC=90°，

∵BD平分∠ABC，

∴OE=OA=1．

在Rt△OEC中，∠ACB=45°，OE=1，

∴OC= ．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义证明；（2）过点O作OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OE=OA，根据勾股定理计算即可．