Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数， ①写出这个二次函数的解析式；
②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；
③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的图象与x轴有两个公共点，

∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有两个不相等的实数根，

∴ ，

解得：m＞﹣ 且m≠0．

（2）解：①∵m＞﹣ 且m≠0，m取其内的最小整数，

∴m=1，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

②∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，1＞0，

∴当x≤ 时，y随x的增大而减小．

又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n，

∴ ，解得：n=﹣2．

③根据平移的性质可知，a=1，

∵当x＜2时，y随x的增大而减小，

∴h≥2．

∵平移后的图象经过原点O，

∴0=（0﹣h）2+k，即k=﹣h2，

∴k≤﹣4．

【解析】（1.）由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有两个不相等的实数根，利用根的判别式△＞0结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；（2.）①取（1）中m的最小整数，将其代入二次函数解析式中即可；②找出抛物线的对称轴为x= ，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n的值；③根据平移的性质可得出a=1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k=﹣h2 ， 进而即可得出k的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用二次函数图象的平移和二次函数的最值，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．