Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线l：y=﹣ x+ 分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，且∠ACB=30°．

（1）求A，C两点的坐标．
（2）若点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，求出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x=0时，y= ；当y=0时，x=1．

∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（0， ），

在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB= ，

∴BC=2 ．

∴OC= =3．

∴点C坐标为（﹣3，0）．

（2）解：如图1所示：

∵OA=1，OB= ，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2 ，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分两种情况考虑：若M在线段BC上时，BC=2 ，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，

此时S△ABM= BMAB= ×（2 ﹣t）×2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；

若M在BC延长线上时，BC=2 ，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，

此时S△ABM= BMAB= ×（t﹣2 ）×2=t﹣2 （t≥2 ）；

综上所述，S= ；

（3）解：P是y轴上的点，在坐标平面内存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，

如2图所示，

当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A的横坐标相同，

此时Q坐标为（1，2），②AP=AQ= ，Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1， ），

当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A横坐标相同，

此时Q坐标为（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此时Q坐标为（﹣1，0），

综上，满足题意Q坐标为（1，2）、（1，﹣2）、（1， ）、（﹣1，0）．

【解析】（1）直线y=- x+ 分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴负半轴上，当x=0时，y= ；当y=0时，x=1；所以点A坐标为（1，0），点B坐标为（0， ），在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB=，得到BC=2，得到 OC=3，即点C坐标为（﹣3，0）；（2）OA=1，OB=，AB=2，得到∠ABO=30°，同理：BC=2 ，∠OCB=30°，得到∠OBC=60°，∠ABC=90°，分两种情况考虑：若M在线段BC上时，BC=2，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，此时S△ABM=BMAB÷2=（2 ﹣t）×2÷2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；若M在BC延长线上时，BC=2，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，此时S△ABM=BMAB÷2=（t﹣2）×2÷2=t﹣2（t≥2）；（3）当P在y轴正半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1，2），②AP=AQ= 2÷3 ，Q与A的横坐标相同，此时Q坐标为（1， 2÷3），当P在y轴负半轴上，四边形ABPQ为菱形，①可得AQ=AB=2，且Q与A横坐标相同，此时Q坐标为（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此时Q坐标为（﹣1，0），综上，满足题意Q坐标为（1，2）、（1，﹣2）、（1， 2÷3 ）、（﹣1，0）．