Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：

①∠B=∠C=45°；

②AE=CF，

③AP=EF，

④△EPF是等腰直角三角形，

⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．

其中正确的结论是（ ）

A．只有① B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题分析：根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，

∴①∠B=∠C=×（180°﹣90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，

∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，

∴∠FPC=∠EPA．

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴②AE=CF；④EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，

∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

∴AP=BC，

∵EF不是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故③错误；

④∵∠AGF=∠EGP=180°﹣∠APE﹣∠PEF=180°﹣∠APE﹣45°，

∠AEP=180°﹣∠APE﹣∠EAP=180°﹣∠APE﹣45°，

∴∠AEP=∠AGF．

故正确的有①、②、④、⑤，共四个．

因此选D．