Question

【题目】如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°.作∠BAC的平分线AM交BC于点D，在所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF.

（1）试判断四边形AEDF的形状，并证明；

（2）若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一动点P，求PC+PD的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PC+PD的最小值为：6.

【解析】

（1）根据对称性，围绕证明对角线互相垂直平分找条件；

（2）求线段和最小的问题，P点的确定方法是：找D点关于直线EF的对称点A，再连接AC，AC与直线EF的交点即为所求．

解：（1）四边形AEDF为菱形，

证明：由折叠可知，EF垂直平分AD于G点，
又∵AD平分∠BAC，
∴△AEG≌△AFG，

∴GE=GF，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD互相垂直平分，
∴四边形AEDF为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
（2）已知D点关于直线EF的对称点为A，AC与EF的交点E即为所求的P点，
PC+PD的最小值为：CP+DP=CE+DE=CE+AE=AC= =6．

故答案为：（1）见解析；（2）PC+PD的最小值为：6.