Question

【题目】数学课堂探究性活动蔚然成风。张老师在课堂上设置一道习题：

(1)已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明；

当P点在其它位置时，请同学们分组探究：

(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明。

(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）结论PA2+PC2=PB2+PD2，证明见解析

【解析】试题分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论；

（2）过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．

试题解析：证明：（1）如图1中．在Rt△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2；

（2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．

如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．

在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2．

（3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q．

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四边形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2．