Question

【题目】（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，

∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．

（理解）

若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；

（尝试）

（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；

（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）θ =30°；（2）当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．

【解析】

（1）先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD为等边三角形，∠COD=60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA的长，由此可得出结论．

（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．

在△BCD与△AFD中，

，

∴△BCD≌△AFD（ASA）．

∴CD=FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，

∴OD=CF=CD．

又由折叠可知，OD=OC，

∴OD=OC=CD，

∴△OCD为等边三角形，∠COD=60°，

∴θ=∠COD=30°；

（2）∵点E四边形OABC的边AB上，

∴AB⊥直线l

由折叠可知，OD=OC=3，DE=BC=2．

∵θ=45°，AB⊥直线l，

∴△ADE为等腰直角三角形，

∴AD=DE=2，

∴OA=OD+AD=3+2=5，

∴a=5；

由图可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形0ABC的外部．