Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得

S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4．8；（2）t=或t=3；（3）t=2．4秒或秒或秒．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理得出AB的长度，利用等面积法求出线段CD的长度；（2）过点P⊥PH⊥AC，根据题意得出DP=t，CQ=t，则CP=4．8－t，根据△CHP∽△BCA得出PH的长度，然后求出△CPQ与t的函数关系式，然后根据三角形的面积之比得出答案；（3）本题分CQ=CP、PQ=PC以及QC=QP三种情况得出答案．

试题解析：（1）如图1， ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10． ∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4．8．

∴线段CD的长为4．8．

（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．

由题可知DP=t，CQ=t． 则CP=4．8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴． ∴．

∴PH=﹣t．

∴S△CPQ=CQPH=t（﹣t）=﹣t2+t．

存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100．

∵S△ABC=×6×8=24，

且S△CPQ：S△ABC=9：100，

∴（﹣t2+t）：24=9：100．

整理得：5t2﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．

∵0≤t≤4．8，

∴当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．

（3）存在

①若CQ=CP，如图1，则t=4．8﹣t．

解得：t=2．4

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

解得；t=．

③若QC=QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示

同理可得：t=．

综上所述：当t为2．4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．