Question

【题目】在△ABC中，∠ABC=90°．

（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；

（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；

（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM=∠CBN，即可得出结论；

（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，先判断出△ABP∽△PQF，得出，再判断出△ABP∽△CQF，得出CQ=2a，进而建立方程用b表示出a，即可得出结论；

（3）先判断出，再同（2）的方法，即可得出结论．

（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠BNC=90°，

∴∠BAM+∠ABM=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABM+∠CBN=90°，

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠AMB=∠NBC，

∴△ABM∽△BCN；

（2）如图，过点P作PF⊥AP交AC于F，

在Rt△AFP中，tan∠PAC=，

同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，

∴，

设AB=a，PQ=2a，BP=b，FQ=2b（a＞0，b＞0），

∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，

∴△ABP∽△CQF，

∴，∴CQ==2a，

∵BC=BP+PQ+CQ=b+2a+2a=4a+b，

∵∠BAP=∠C，∠B=∠B=90°，

∴△ABP∽△CBA，

∴，

∴BC=，

∴4a+b=，

∴a=b，

∴BC=4×b+b=b，AB=a=b，

在Rt△ABC中，tanC=；

（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

如图，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，

∵∠DEB=90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，

同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，

∴=，

设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，

∵AB=AE，AG⊥BE，

∴EG=BG=4m，

∴GH=BG+BH=4m+3n，

∴，

∴n=2m，

∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，

在Rt△CEH中，tan∠BEC=．