Question

【题目】如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若AC=4，tan∠ACD，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；

（2）利用垂径定理推论得出，进而得出BC的长，再利用勾股定理求出即可．

试题解析：（1）连接CO，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∵OB=CO，

∴∠B=∠OCB，

∵∠FCA=∠B，

∴∠BCO=∠ACF，

∴∠OCA+∠ACF=90°，

即∠OCF=90°，

∴CF是⊙O的切线；

（2）∵直径AB平分弦CD，

∴AB⊥DC，

∴，

∵AC=4，tan∠ACD=，

∴tan∠B=tan∠ACD=，

∴

∴BC=8，

∴在Rt△ABC中，

AB=

则⊙O的半径为：．