Question

【题目】如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DE= ，求线段AC的长

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAD，

∴AE∥OD，

∴∠AED+∠EDO=180°，

∵DE⊥AC，

∴∠EDO=90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接BC交OD于F，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠AED=∠EDO=90°，

∴四边形DECF为矩形，

∴DE=CF= ，∠DFC=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC=2CF=2 ，

∵AB=4，

∴AC= =2．

【解析】（1）证切线需要证明该线垂直于过切点的半径，所以我们首先要连接OD，并进一步利用平行线性质，互补关系，证明∠EDO=90°
（2）利用垂径定理结合矩形性质可得DE=CF= ，BC=2CF=2 ，再利用勾股定理易得AC= =2．