Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．

（1）求证：△ADC≌△FDB；

（2）求证：CE=BF；

（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论；

（4）猜想BG与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ECG为等腰直角三角形；（4）GB=CE．

【解析】

试题分析：（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；

（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；

（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；

（4）由△ECG为等腰直角三角形，得到GC=CE，因为GC=GB，即可得到GB=CE．

试题解析：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，CE=AE，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠DBF，在△ADC和△FDB中，∵∠ACD=∠DFB，CD=BD，∠ADC=∠BDF，∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，∴AC=BF，又∵CE=AE，∴CE=BF；

（3）△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点，∴GH垂直平分BC，∴GC=GB，∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，又∵BE⊥AC，∴△ECG为等腰直角三角形；

（4）GB=CE；

∵△ECG为等腰直角三角形，∴GC=CE，∵GC=GB，∴GB=CE．