Question

【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=50，BC=64，连结BD，AE⊥BD垂足为E，
（1）求证：△ABE∽△DCB；
（2）求线段DC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=∠C=90°，

∴△ABE∽△DCB

（2）解：作AF⊥BC于F，如图，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴AFCD是矩形，

∴FC=AD=50，AF=CD，

∴BF=BC﹣FC=64﹣50=14，

∴AF= =48，

∴DC=48．

【解析】（1）由AD∥BC得出∠ADB=∠DBC，再由AB=AD得出∠ADB=∠ABD，从而∠ABD=∠DBC，另外AE⊥BD，故∠AEB=∠C=90°，结论显然；（2）作AF⊥BC于F，则AF=CD，FC=AD，算出BF，从而由勾股定理算出AF．
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．