Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根

（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求直线BD的解析式；
（4）在x轴上是否存在P，使以O、B、P三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵由x2﹣2x﹣3=0得：

∴x1=3，x2=﹣1

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4．

（2）

解：结论：AC⊥AB．理由如下：

∵A（ ，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA= ，OB=3，OC=1，

∴tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，

∴∠ABO=30°，∠ACO=60°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB

（3）

解：如图1中，过D作DE⊥x轴于E．

∴∠DEA=∠AOC=90°，

∵tan∠ACO= = ，

∵∠DCB=60°

∵DB=DC，

∴△DBC是等边三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA=AC，

∵∠DAE=∠OAC，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE=OC=1，AE=OA=

∴ ，

∴D的坐标为（ ，1）．

设直线BD的解析式为y=kx+b，则有 解得 ，

∴直线BD的解析式为y= x+3

（4）

解：存在．如图2中，延长BD交x轴于P1．

由（3）可知，△DBC是等边三角形，

∴∠P1BO=60°，

∵在△ABC中，∠ACB=60°，∠CAB=90°，

∴∠P1BC=∠ACB=60°，∵∠P1OB=∠CAB=90°，

∴△P1BO∽△BCA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OP1=3 ，

∴P1（﹣3 ，0），

当P2与A重合时，△BOP2∽△BAC，此时P2（﹣ ，0），

再根据对称性可得P3（ ，0），P4（3 ，0）也符合条件．

综上所述，点P的坐标为（﹣3 ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）或（3 ，0）

【解析】（1）列方程即可求出点B、C坐标解决问题．（2）由tan∠ABO= = ，tan∠ACO= = ，推出∠ABO=30°，∠ACO=60°，即可解决问题．（3）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA= ，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题．（4）存在．如图2中，延长BD交x轴于P1 ． 可以证明P1满足条件，当P2与A重合时也满足条件，再根据对称性写出P3、P4坐标即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对一次函数的图象和性质的理解，了解一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．