Question

【题目】如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．点P在直线CD上运动（点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上），若记∠DAP，∠APB，∠PBC分别为∠α，∠β，∠γ．

（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，写出∠α，∠β，∠γ之间的关系并说出理由；

（2）如图2，如果点P在线段CD的延长线上运动，探究∠α，∠β，∠γ之间的关系，并说明理由．

（3）如图3，BI平分∠PBC，AI交BI于点I，交BP于点K，且∠PAI：∠DAI=5：1，∠APB=20°，∠I=30°，求∠PAI的度数．

Answer 1

【答案】（1）∠β=∠α+∠γ． 理由见解析；（2）点P在线段CD的延长线上运动时，∠β=∠γ﹣∠α；点P在线段DC的延长线上运动时，∠β=∠α﹣∠γ；理由见解析；（3）∠PAI=50°．

【解析】

（1）过点P作PE∥AD，如图1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，则∠γ=∠BPE，所以∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）点P在线段CD的延长线上运动时，∠β=∠γ-∠α；点P在线段DC的延长线上运动时，∠β=∠α-∠γ．以点P在线段CD的延长线上运动为例说明：

如图2，根据平行线的性质由AD∥BC得∠PBC=∠1，根据三角形外角性质得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC-∠PAD，即∠β=∠γ-∠α．

（3）根据题意可设∠PBI=∠CBI=m，则∠CBP=2m，∠PAI=m+10°，由∠PAI：∠DAI =5：1得∠DAI=m+2°，根据∠DHP是△APH的外角列出方程求解即可.

（1）∠β=∠α+∠γ．

理由如下：

过点P作PE∥AD，如图1，

∵PE∥AD，

∴∠α=∠APE，

∵AD∥BC，

∴PE∥BC，

∴∠γ=∠BPE，

∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；

（2）点P在线段CD的延长线上运动时，∠β=∠γ﹣∠α；点P在线段DC的延长线上运动时，∠β=∠α﹣∠γ．

以点P在线段CD的延长线上运动为例说明：

如图2，

∵AD∥BC，

∴∠PBC=∠1，

而∠1=∠PAD+∠APB，

∴∠APB=∠PBC﹣∠PAD，

即∠β=∠γ﹣∠α．

（3）∵BI平分∠ABC，

∴可设∠PBI=∠CBI=m，则∠CBP=2m，

∵AD∥BC，

∴∠DHP=∠CBP=2m，

∵∠APB=20°，∠I=30°，∠BKI=∠AKP，

∴∠PAI=m+30°﹣20°=m+10°，

又∵∠PAI：∠DAI =5：1，

∴∠DAI=∠PAI=m+2°，

∵∠DHP是△APH的外角，

∴∠DHP=∠PAH+∠APB，

即2m=m+2°+m+10°+20°，

解得m=40°，

∴∠PAI=40°+10°=50°．