【题目】如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．

（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）

（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；

（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．

参考答案：

【答案】（1）（6﹣x， x）；（2）S的最大值为6，此时x=3；（3）

x=2，或x=，或x=

【解析】试题分析：（1）P点的横坐标与N点的横坐标相同，求出CN的长即可得出P点的横坐标，然后通过求直线AC的函数解析式来得出P点的纵坐标，由此可求出P点的坐标；

（2）可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值．△MPA中，MA=OA-OM，而MA边上的高就是P点的纵坐标，由此可根据三角形的面积计算公式求出S与x的函数关系式，进而根据函数的性质得出S的最大值和对应的x的值；

（3）可分三种情况进行讨论：①MP=AP时，延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA，那么此时有AQ=BN=MA，由此可求出x的值；②当MP=AM时，可根据MP、AM的不同表达式得出一个关于x的方程即可求出x的值；③当PA=PM时，可在直角三角形PMQ中，根据勾股定理求出x的值．综上所述可得出符合条件的x的值．

试题解析：（1）由题意可知C（0，8），又A（6，0），

所以直线AC解析式为：y=﹣x+8，

因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6﹣x，代入直线AC中得y=，

所以P点坐标为（6﹣x， x）；

（2）设△MPA的面积为S，在△MPA中，MA=6﹣x，MA边上的高为x，

其中，0≤x＜6，

∴S=（6﹣x）×x=（﹣x2+6x）=﹣（x﹣3）2+6，

∴S的最大值为6，此时x=3；

（3）延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA，

①若MP=PA，

∵PQ⊥MA，

∴MQ=QA=x，

∴3x=6，

∴x=2；

②若MP=MA，则MQ=6﹣2x，PQ=x，PM=MA=6﹣x，

在Rt△PMQ中，

∵PM2=MQ2+PQ2，

∴（6﹣x）2=（6﹣2x）2+（x）2，

∴x=；

③若PA=AM，

∵PA=x，AM=6﹣x，

∴x=6﹣x，

∴x=，

综上所述，x=2，或x=，或x=．

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