Question

【题目】（本题满分12分）如图1，已知在长方形中， ， ，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处， 交于点.

（1）求证：△是等腰三角形． （2）求的长．

（3）如图2，若点是上一动点， 于点， 于点，问： 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）DE=5；PM+PN为定值，是4

【解析】试题分析：(1)利用角平分线和内错角可知∠2=∠3，所以△BED是等腰三角形.

(2)利用勾股定理列方程解.

(3)利用角平分线上的点到角两边距离相等，所以PN长就是P到BC边的距离，所以PM+PN=AB.

试题解析：

(1)由翻折知，∠1=∠2 ，

∵AD∥BC，

∴∠3=∠2 ，

∴∠1=∠3，

∴BE=DE，

即△BED是等腰三角形.

(2)设DE=x,则AE=8-x，BE=x,

在Rt△ABE中，

解之， x=5, ∴ DE=5 .

(3) PM+PN为定值，是4 ,

延长MP，交BC于点H,

∵AD∥BC，PM ,

∴PH⊥BC,

∵∠1=∠2， PN ,PH⊥BC,

∴PN=PH ,

∴ PM+PN=MN=AB=4 .