Question

【题目】一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内做等边△ABC

（1）求△ABC的面积和点C的坐标；

（2）如果在第二象限内有一点P（a，），试用含a的代数式表示四边形ABPO的面积．

（3）在x轴上是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），C（1，2）；（2）；（3）M的坐标为（，0）、（+2，0）、（﹣2，0）、（﹣，0）

【解析】

（1）先求出A（ ，0），B（0，1），再求出AB=2，由S△ABC= ×2×sin60°= 得OA= ，OB=1，所以tan∠OAB= = ，所以∠OAB=30°，证出∠OAC=90°，

所以C（1，2）；

（2）结合图象得：S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + |a|；

（3）设点M（m，0），结合图形，分三种情况①MA=MB，②MA=AB，③MB=AB，可得到：

满足条件的M的坐标为（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）.

（1）解：y=﹣ x+1与x轴、y轴交于A、B两点，

∴A（ ，0），B（0，1）．

∵△AOB为直角三角形，

∴AB=2．

∴S△ABC= ×2×sin60°= ．

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴OA= ，OB=1，

∴tan∠OAB= = ，

∴∠OAB=30°，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAC=90°，

∴C（1，2）

（2）解：如图1，

S四边形ABPO=S△ABO+S△BOP= ×OA×OB+ ×OB×h= × ×1+ ×1×|a|= + |a|

∵P在第二象限，

∴a＜0

∴S四边形ABPO= ﹣ =

（3）解：如图2，

设点M（m，0），

∵A（ ，0），B（0，1）．

∴AM2=（m﹣ ）2 ， MB2=m2+1，AB=2，

∵△MAB为等腰三角形，

∴①MA=MB，

∴MA2=MB2 ，

∴（m﹣ ）2=m2+1，

∴m= ，

∴M（ ，0）

②MA=AB，

∴MA2=AB2 ，

∴（m﹣ ）2=4，

∴m= ±2，

∴M（ +2，0）或（ ﹣2，0）

③MB=AB，

∴MB2=AB2 ，

∴m2+1=4，

∴m= （舍）或m=﹣ ．

∴M（﹣ ，0）．

∴满足条件的M的坐标为（ ，0）、（ +2，0）、（ ﹣2，0）、（﹣ ，0）