Question

【题目】设双曲线与直线交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”，当双曲线的眸径为9时，的值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以 PQ 为边，作矩形 PQQ’P’交双曲线于点 P’、 Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点 A 、 B 的坐标，由 PQ 的长度可得出点 P 的坐标（点 P 在直线 y = - x 上找出点 P的坐标），由图形的对称性结合点 A 、B 和 P 的坐标可得出点 P’ 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k 的一元一次方程，解之即可得出结论．

解：以 PQ 为边，作矩形 PQQ’P’交双曲线于点 P 、Q′，如图所示．

联立直线 AB 及双曲线解析式成方程组

解得

则有点A的坐标为点B的坐标为

又PQ为9，求得点P坐标为

根据图形的对称性可知得到P’坐标为

将其代入双曲线，

有

解得

故答案为