Question

【题目】已知：如图1，在梯形中，∥，，，点，，分别在边，，上，＝＝.

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当时，求证：四边形是矩形；

（3）在(2)的条件下，如图2，过点作于点，当，，这三条线段的长度满足怎样的数量关系时，可以判断四边形是正方形？并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3) AD+BF=2GH，证明见详解.

【解析】

(1)要证明该四边形是平行四边形，只需证明 AE∥FG ．根据对边对等角∠GFC =∠C，和等腰梯形的性质得到∠B = ∠C ，则∠B =∠GFC ，得到 AE∥FG ．

(2)在平行四边形的基础上要证明是矩形，只需证明有一个角是直角．根据三角形 FGC 的内角和是 180 °，结合∠FGC = 2∠EFB和∠GFC =∠C ，得到∠BFE +GFC=90 °．则∠EFG = 90 °．

(3)题干要求，，这三条线段的长度数量关系并使得四边形是正方形，根据题意作辅助线延长FB至点M，使BM=AD，连接EM，过点E作ENBF,垂足为N，得到继续分析求证即可.

解：证明：（1 ） ∵在梯形 ABCD 中，AB = DC ，∠ B = ∠ C ，

∵ GF = GC ，

∴∠ C = ∠ GFC ，∠ B = ∠ GFC,

∴ AB ∥ GF ，即 AE ∥ GF,

∵ AE = GF ，

∴四边形 AEFG 是平行四边形.

( 2 ) ∵∠ FGC + ∠ GFC + ∠ C = 180 o，∠ GFC = ∠ C ，∠ FGC = 2 ∠ EFB ，

∴ 2 ∠ GFC +2 ∠ EFB = 180 o，

∴∠ BFE + ∠ GFC = 90o．

∴∠ EFG = 90o．

∵四边形 AEFG 是平行四边形，

∴四边形 AEFG 是矩形.

（3）在（2）的条件下，当AD+BF=2GH时可以判断四边形AEFG是正方形.理由如下：

如图3，延长FB至点M，使BM=AD，连接EM，过点E作ENBF,垂足为N，

则有MF=BM+BF=AD+BF=2GH,得到

,

.

,

又

.

.

四边形AEFG是矩形，

四边形是正方形.