Question

【题目】心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有如下关系式： （y值越大表示接受能力越强）

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中；

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中能持续多少分钟；

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

Answer 1

【答案】（1）讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中；（2）讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟；（3）老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【解析】试题分析：

（1）把t=5和t=25分别代入对应的函数关系式求出y的值，并比较大小即可得出结论；

（2）由自变量的取值范围分别求出第一段函数和第三段函数中函数值取最大值时对应的自变量取值结合两段函数的增减性及第二段函数的函数值为固定的240分析即可得到本题答案；

（3）分别在第一段函数和第三段函数中，由y=180解得对应的x的值，即可求得注意力y不低于180的持续时间是多长，由此即可得到本题答案.

试题解析：

（1）当t=5时，y=195，当t=25时，y=205

∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中．

（2）①当0＜t≤10时，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，

该段函数图象的对称轴为直线t=12，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

∴当t=10时，y有最大值240；

②当10＜t≤20时，y=240；

③当20＜t≤40时，y=﹣7t+380，y随t的增大而减小，

故此时y＜240；

∴综上所述，当t=10时，y有最大值240，持续时间为：20-10=10（分钟），

即：讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟．

（3）当0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，解得t1=4，t2=20（不在取值范围内，舍去），

当20＜t≤40时，令y=﹣7t+380=180，解得t=28.57

∵28.57﹣4＞24，

∴老师可以经过适当安排，能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.